﻿          СТРАТЕГИЯ ЗА ОБРЪЩАНЕ НА МОНЕТИ

         (доклад по ИГКТГ, 20 май 2021 г.)

         Ангел Димитриев, № 26478, СУ, ФМИ


   Задача: Трима играчи A, B и C играят следната игра.

Играчът А избира едно от полетата на шахматна дъска 8 x 8

и скрива ключ под избраното поле в присъствието на играча B.

След това A покрива полетата на дъската с 64 монети;

горната страна на всяка монета е или герб, или лице.

Играчът B е длъжен да обърне точно една монета,

след което напуска сцената. Играчът C влиза,

оглежда разположението на монетите и трябва да отгатне

под кое поле на шахматната дъска е скрит ключът.

Играчите B и C не могат да обменят информация пряко,

но преди изпитанието са имали време да се договорят

за използваната стратегия. Тази уговорка е известна на A.

Съществува ли стратегия, която позволява безпогрешно отгатване

на полето, където е скрит ключът?

   Решение: Има такава стратегия. Номерираме полетата на дъската

с целите числа от 0 до 63 включително и записваме всеки номер

в двоична бройна система. По-късите записи допълваме с нули отляво.

В крайна сметка на всяко поле на дъската сме съпоставили

шестмерен двоичен вектор. На всяко разположение на монетите

съпоставяме сбора от векторите на онези полета на дъската,

чиито монети са сложени с лицето нагоре; събирането е по модул 2.

Този сбор е шестмерен двоичен вектор, на който съответства

цяло число от 0 до 63 вкл., тоест номер на поле от дъската.

   Нека S е номерът, получен по описаната схема,

който играчът B заварва, когато отива при дъската.

Стратегията на B се състои в обръщането на една монета така,

че да се получи номерът T на полето, под което A е скрил ключа.

Тогава играчът C ще може да отгатне полето, като пресметне номера T

въз основа на разположението на монетите.

   Тъй като числата S и T са произволни цели числа от 0 до 63 вкл.

(те зависят само от избора на играча A), възниква въпросът

дали B може винаги да обърне точно една монета по такъв начин,

че номерът, сочен от разположението на монетите, да се промени от S на T.

Оказва се, че това е възможно винаги: играчът B трябва да събере по модул 2

шестмерните вектори, съответстващи на числата S и T, получения вектор

да превърне в число от 0 до 63 включително, тоест номер на поле,

и да обърне монетата върху това поле.
