﻿Брой пътища в целочислена решетка
=================================

1) Начало: (0;0).
   Край:   (m;n).
   Стъпка: (x;y) -> (x+1;y) или (x;y) -> (x;y+1). 
   Броят на пътищата = (m + n над m) = (m + n над n) = (m + n)! / (m!n!).
   m >= 0, n >= 0.

2) Начало: (0;0).
   Край:   (m;n).
   Стъпка: (x;y) -> (x+1;y+1) или (x;y) -> (x+1;y-1). 
   Броят на пътищата = (m над (m + n) / 2) = (m над (m - n) / 2).
   -m <= n <= m,   m >= 0.

3а) Начало: (0;0).
    Край:   (m;n).
    Стъпка: (x;y) -> (x+1;y+1) или (x;y) -> (x+1;y-1). 
    Допустими стойности: -m <= n <= m,   m >= 0,   s не е между 0 и n (вкл. не е нито 0, нито n).
    Броят на пътищата, които имат обща точка (допирна или пресечна) с правата y = s,
    = (m над [(m - n) / 2] + s) = (m над [(m + n) / 2] - s).

3б) Начало: (0;0).
    Край:   (m;n).
    Стъпка: (x;y) -> (x+1;y+1) или (x;y) -> (x+1;y-1). 
    Допустими стойности: -m <= n <= m,   m >= 0,   s не е между 0 и n (вкл. не е нито 0, нито n).
    Броят на пътищата, които нямат обща точка (допирна или пресечна) с правата y = s,
    = (m над (m + n) / 2) - (m над [(m - n) / 2] + s).

4а) Начало: (0;0).
    Край:   (m;n).
    Стъпка: (x;y) -> (x+1;y) или (x;y) -> (x;y+1). 
    Допустими стойности: m >= 0, n >= 0, -m <= s <= n, s(m - n + s) > 0 (т.е. точките (0;0) и (m;n) да са от една и съща страна на правата y = x + s.
    Броят на пътищата, които имат обща точка (допирна или пресечна) с правата y = x + s,
    = (m + n над n - s) = (m + n над m + s).

4б) Начало: (0;0).
    Край:   (m;n).
    Стъпка: (x;y) -> (x+1;y) или (x;y) -> (x;y+1). 
    Допустими стойности: m >= 0, n >= 0, -m <= s <= n, s(m - n + s) > 0 (т.е. точките (0;0) и (m;n) да са от една и съща страна на правата y = x + s.
    Броят на пътищата, които нямат обща точка (допирна или пресечна) с правата y = x + s, // y < x + s
    т.е. броят на пътищата, които нямат пресечна точка (могат да имат допирна точка) с правата y = x + s - 1, // y <= x + s - 1
    = (m + n над m) - (m + n над n - s) = (m + n над m) - (m + n над m + s).

5)  Важен частен случай на № 4б.
    Начало: (0;0).
    Край:   (n;n).
    Стъпка: (x;y) -> (x+1;y) или (x;y) -> (x;y+1). 
    Допустими стойности: n >= 0.
    Броят на пътищата, които нямат обща точка (допирна или пресечна) с правата y = x + 1, // y < x + 1
    т.е. броят на пътищата, които нямат пресечна точка (могат да имат допирна точка) с правата y = x, // y <= x
    = (2n над n) / (n+1) = число на Каталан.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Задача. Нека курсът на американския долар спрямо българския лев се мени всеки ден с една стотинка нагоре или надолу,
като двете посоки са равновероятни. Преди десет дена търговец е купил някакво количество долари на цена 1,82 лв. за долар.
Днес цената на един долар е 1,86 лв. за долар. Търговецът е имал намерение да извлече печалба от 5 ст. на долар,
като продаде доларите на цена 1,87 лв. за долар. Каква е вероятността търговецът да е продал доларите
(тоест каква е вероятността курсът на долара да е достигнал цена 1,87 лв. за долар през изминалите десет дена)?

Решение: P(търговецът да е продал доларите) = 
= броя на благоприятните изходи, разделен на броя на всички изходи =
= (10 над 2)/(10 над 3) = 45/120 = 3/8 = 0,375 = 37,5%.

Забележка: Моделът в задачата е силно опростен и не би могъл да се приложи в реална ситуация.
Иначе подобни подходи (но много по-сложни технически) се използват в теорията на вероятностите
за пресмятане на вероятностите за изход на случаен процес от област с дадени граници.
Случайните процеси на свой ред се използват за моделиране на редица явления
в икономиката, физиката и т.н.
