Задача 4. Върху страните на единичен квадрат са избрани краен брой точки. Да се докаже, че съществува връх на квадрата, за който средното аритметично на квадратите на разстоянията от него до дадените точки е поне $\dfrac{3}{4}$.

Решение. Нека $A_1$, $A_2$, $A_3$ и $A_4$ са върховете на квадрата, а $\{P_i|1\leq i \leq n\}$ са точките. Нека $P_k$ е една от точките. Без ограничение на общността можем да считаме, че тя лежи на $A_1A_2$ и $A_1P_k=x$. Тогава $A_2P_k=1-x$, $A_3P_k^2=1+(1-x)^2$ и $A_4P_k^2=1+x^2$. Следователно $$\sum_{i=1}^{4}P_kA_i^2 = x^2+(1-x)^2+(1+x^2)+(1+(1-x)^2)=4\Big(x-\dfrac{1}{2}\Big)^2+3\geq 3.$$ Тогава $$\sum_{i=1}^{4}\Big(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}P_kA_i^2\Big)=\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\Big(\sum_{i=1}^{4}P_kA_i^2\Big)\geq 3.$$ Ето защо съществува $1\leq i \leq 4$, за което $$\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}P_kA_i^2\geq \dfrac{3}{4}.$$