Задача 3. В единичен квадрат са взети 112 точки. Да се докаже, че поне две от тях са на разстояние, по-малко от $\dfrac{1}{8}$.

Решение. Допускаме противното. Тогава всеки две точки са на разстояние, не по-малко от $\dfrac{1}{8}$. Нека $X=\{A_i | 1\leq i\leq 112\}$ е множеството от всички 112 точки. Разглеждаме кръговете $k_i(A_i,\dfrac{1}{16})$ за $i=1,2,\ldots,112$. От допускането следва, че никои два кръга нямат общи вътрешни точки. Лицето на кой да е кръг е $S=\dfrac{\pi}{16^2}=\dfrac{\pi}{256}$. Тогава общото лице на всички кръгове е $\dfrac{112\pi}{256}$.

От друга страна, всеки от тези 112 кръга лежи във фигурата $B$, показана на чертежа. Лицето $S_B$ на тази фигура е $S_B=1+4\dfrac{1}{16}+\dfrac{\pi}{256}$ и трябва да е изпълнено неравенството $S_B > 112S$, тоест $\dfrac{5}{4}+\dfrac{\pi}{256} > \dfrac{112\pi}{256}$, което е равносилно на $\dfrac{320}{111} > \pi$. Полученото неравенство не е вярно. Противоречие.