Приближаване на производна на функция

Приближете производната на Exp[x] в интервала [0,10], като използвате формула с разлика напред, формула с разлика назад и формула с централна разлика. Да се начертаят на една графика производната и нейните приближения при Δt=0.5, Δt=0.001, Δt=10^(-15)

Формула с разлика напред

f[t_]=Exp[t];
DerF[t_]=D[f[t],t];
ApprDerF[Δt_]:=(f[t+Δt]-f[t])/Δt
plot05 = Plot[{DerF[t],ApprDerF[0.5]},{t,0,10}];
plot0001 = Plot[{DerF[t],ApprDerF[0.001]},{t,0,10}];
plot1015 = Plot[{DerF[t],ApprDerF[10^(-15)]},{t,0,10}];
GraphicsRow[{plot05, plot0001, plot1015}]

Формула с разлика назад

Формула с централна разлика

Грешки

Пресметнете  абсолютната и относителната грешка при приближаването на производната на (e^x) с

формула с разлика напред

формула с разлика назад

формула с централна разлика

Ред на Тейлър:

Приближете функцията Sin[x]Cos[x]x в интервала [0,10], като използвате полином на Тейлър от степен 2, 3, 4. Начертайте функцията и приближенията на една графика.

Ред на Тейлър:

Вариант 1

PlotDer[f_,start_, end_,step_,order_]:=
(
minF = Min[Table[f[x],{x,start,end, step}]]-1;
maxF = Max[Table[f[x],{x,start,end, step}]]+1;
Manipulate[
	taylorSeries[x0_,x_] = f[x0]+Sum[ReplaceAll[D[f[y],{y,k}],y->x0]*(x-x0)^k/k!,{k,1,order}];
	Show[Plot[{f[x],taylorSeries [x0,x]},{x,start,end}, PlotRange->{{start,end},{minF,maxF}}],ListPlot[{{x0,f[x0]}},PlotStyle->Orange]],
	{x0,start,end, step}]
)

p[x_]:=Sin[x]*Cos[x]*x
PlotDer[p,0,10,0.1,20]

Вариант 2

PlotDer[f_,start_, end_,step_]:=
(
minF = Min[Table[f[x],{x,start,end, step}]]-1;
maxF = Max[Table[f[x],{x,start,end, step}]]+1;
Manipulate[
	taylorSeries[x0_,x_] = f[x0]+Sum[ReplaceAll[D[f[y],{y,k}],y->x0]*(x-x0)^k/k!,{k,1,order}];
	Show[Plot[{f[x],taylorSeries [x0,x]},{x,start,end}, PlotRange->{{start,end},{minF,maxF}}],ListPlot[{{x0,f[x0]}},PlotStyle->Orange]],
	{x0,start,end, step},
	{order,1,20,1}]
)

p[x_]:=Sin[x]*Cos[x]*x
PlotDer[p,0,10,0.1]

Приближете на функцията Sin[x]Cos[x]x в интервала [0,10], като използвате полином на Тейлър от степен 2, 3, 4. Начертайте графиките на абсолютната и относителната грешка.

Задача на Коши. Явен метод на Ойлер.

По явния метод на Ойлер да се реши моделната задача
u’(x)=-10u, 0<x<=1
u(0)=1
при n=4, 5, 6,10, 20, 100. Да се изобразят графично на един чертеж точното и приближеното решение