!Файлът се очаква да расте, докато не се появят резултати!

Дребни забележки (не отнемам точки за тях, но е добре да се вземат предвид):
1. Има решение на зад. 1, в което се казва: "Нека V_Н и V_В са разбиване на V".
Към това имам няколко забележки. Първо, разбиването като обект е множество,
поради което е добре да се каже, че {V_Н, V_В} е разбиване на V.
Второ, по-смислено е да се каже: "Нека V_H и V_В са еди-кои си множества. Ясно е, че те образуват разбиване на V".

2. В същото решение буквата 'n' се използва за |V_В|.
Това не е добре, защото на лекции и на упражнения сме се разбрали, че тази буква се ползва за |V|.
Когато решавате задача за графи, не я използвайте за други неща, понеже така обърквате проверяващите!

3. В същото решение се използват думите "баща" и "син".
На лекции е казвано, че бащи, синове, родители, предшественици и т.н. има само в контекста на кореновите дървета.
Дървото в задачата е обикновено.

4. В други решения на зад. 1 буквата 'm' се използва да означи броя на невисящите върхове.
Това отново не е добре, тъй като сме се разбрали, че с тази буква означаваме |E|.

Не толкова лоши грешки:
1. В решение на зад. 1 се дава индуктивна дефиниция на въпросния тип дървета по следния начин:
Базата е всяко дърво с точно един връх.
Стъпката е вземане на такова дърво и закачане на 12 нови върха към кой да е невисящ от него.
Цялото решение обаче е написано неформално и всичко е накуп.
Когато давате индуктивна дефиниция на нещо, за което имате друга дефиниция, трябва да докажете, че двете са еквивалентни, защото иначе отваряте работа на проверяващия.
След като тази стъпка е готова, доказвате свойството, което искате, с индукция по построението на обекта, който сте дефинирали.

Критични грешки:
1. В решение на зад. 1 броят на висящите е означен с x, а броят на невисящите -- с y.
Казва се, че ако изтрием висящите върхове, получаваме дърво с 2m - x ребра.
Да разгледаме такова дърво, в което има 1 невисящ и 13 висящи.
В този случай имаме x = 13 и m = 13.
Изтривайки висящите, получаваме дърво с 1 връх и 0 ребра, но 2m - x = 13.

2. В решение на зад. 1 се говори за бащи и синове и се казва, че всеки невисящ има 12 сина и 1 баща.
Кой тогава е бащата на корена?

3. В решение на зад. 2 се казва: "Допускаме, че G не е свързан".
Това е изключително грешно. Не можем да допускаме противното на неща, които в условието е казано че са факти.

5. В решение на зад. 1 с V' и V'' са означени съответно множеството от висящите и това от невисящите върхове и се казва |V'| + |V''| = 2|E|.
Истината е, че |V'| + |V''| = |V| = |E| + 1.

6. В решение на зад. 2 се казва, че ако има такова ребро, то е единствено и че ако го изтрием, степените на върховете намалят с единица.
Изтривайки ребро от графа, степените само на два негови върха намалят.

7. В едно от решенията на зад. 1 се подхожда с индукция по височината на T.
Как се дефинира височината на T, ако дървото не е кореново?

8. В решение на зад. 2 се действа така: Нека има такова ребро и нека то свързва
v_i и v_j. След премахването му имаме deg(v_i) = deg(v_j) = 41.
От свързаността на G се заключва, че има връх такъв v_k, че съществува път между v_i и v_k и път между v_k и v_j.
Никъде не се казва, че този път не минава през реброто (v_i, v_j).
Това означава, че ако откъснем реброто от G, вече не можем просто ей така да използваме тези пътища, без да кажем защо не минават през въпросното ребро.

9. В решение на зад. 2 се казва, че премахването на ребро от свързан граф не оказва влияние над свързанноста му.
Това не е така, защото можем да си представим граф с два върха и ребро между тях.
Премахвайки го, разваляме свързаността.

10. В решение на зад. 1 се подхожда с индукция по броя на невисящите върхове.
Не казвам, че самият подход е грешен, но решението гласи следното нещо:
Първо, казва се, че базата е дърво с 1 невисящ връх. Това не е вярно. Базата трябва да е дърво с 0 невисящи върхове. Такова дърво ще има точно един висящ връх и то удовлетворява критерия от условието.
Второ, стъпката е добавяне на един невисящ връх.
Не се казва как става това. И директно се заключва без никакво обяснение, че висящите са повече.

Алтернативно решение на зад. 2 (носи 5 т., защото е вярно):
Казва се, че щом графът е 42-регулярен (всички върхове са от степен 42),
то той непременно е ойлеров, защото 42 е четно число.
Нататък се използва този резултат: https://math.stackexchange.com/questions/1643929/removing-an-edge-from-a-circuit-on-a-connected-graph