Седмичен изглед

  • Въведение. Представяне на числата в компютъра.

    • Какво представляват числените методи? Защо често в практиката се налага дадена задача да се решава с помощта на числен метод?
    • Какво е абсолютна и какво - относителна грешка?
    • Как се представят числата (с плаваща точка) в компютъра? До какви проблеми води това?
    • Къде на практика възниква необходимостта от решаване на линейни алгебрични системи?
    • Какво означава "директен метод" за решаване на линейна алгебрична система? 
    • Какви са основните неща, които трябва да знаем за един числен метод за решаване на линейни алгебрични системи, за да можем да го използваме на практика?

  • Метод на Гаус

    • Алгоритъм (прав и обратен ход) и имплементация на метода на Гаус.
    • Кога методът на Гаус е реализуем?
    • Какво означава един числен метод да е устойчив? Устойчив ли е методът на Гаус (без избор на главния елемент)?
    • Каква е сложността на метода на Гаус?

  • Метод на Гаус с частичен избор на главния елемент

    • Алгоритъм и имплементация на метода на Гаус с частичен избор на главния елемент
    • Защо се налага да използваме метода на Гаус именно в този вид?

  • LU разлагане

    • Какво означава LU-разлагане?
    • Кога е добре матрицата на дадена система да се разложи в този вид? Какво е предимството на това?
    • Умножаване на матрица отляво и отдясно; матрици на елементарни трансформации (операции по редове, пермутационни матрици).
    • Алгоритъм и имплементация на LU-разлагането?
    • Имплементация на функция в Mathematica, която решава система с матрица, разложена във вида A=LU.

    • Файлът съдържа:

      • функция, която намира LU-разлагане на дадена матрица;
      • функция, която решава дадена система, чиято матрица е разложена във вида A=LU;
      • функция, която използва LU-разлагане за намиране на обратна матрица.

  • Метод на Холецки за разлагане на симетрични и положително-определени матрици

    • Какво получаваме по метода на Холецки при дадена матрица A?
    • Кога може да се използва методът на Холецки?
    • Алгоритъм и имплементация.
    • Приложение на метода на Холецки за решаване на задача по метода на най-малките квадрати.

    • Файлът съдържа:

      • Функция, имплементираща метода на Холецки;
      • Примерно решение на задачата за падащото тяло по метода на най-малките квадрати.

  • Метод на дясната прогонка за решаване на системи с тридиагонална матрица

    • За какви системи може да се използва методът на дясната прогонка? Какви са предимствата му пред другите директни методи в този случай?
    • Алгоритъм и имплементация

  • Примери за задачи, които водят до решаването на линейни алгебрични системи

    • Описване на стационарното състояние на дадена физическа система - съставяне на система, която описва стационарното състояние на дадена физическа система (напр. система от реактори, система от пружини и маси); имплементиране и използване на подходпящ метод за решаване на възникващата линейна алгебрична система;
    • Интерполационна задача на Лагранж - съставяне на системата при конкретно зададени възли и стойности. Избор на подходящ метод за решаване на системата. Имплементация в Mathematica.
    • Метод на най-малките квадрати - избор на подходяща функция за приближаване на дадени данни; съставяне на преопределена система, отговаряща на задачата; съставяне (без доказателство) на линейна алгебрична система за оптималното решение; имплементация на подходящ метод за решаване на задачата. 

  • Итерационни методи за решаване на линейни алгебрични системи

    • Каква е общата идея на итерационните методи?
    • Алгоритъм и имплементация на метода на простата итерация и метода на Зайдел.
    • Необходимо и достатъчно условие за сходимост на метода на простата итерация за произволно начално приближение.
    • Достатъчни условия за сходимост (вж. лекциите).
    • Какви stop-критерии обикновено използваме при имплементирането на итерационни методи?

  • Сравнение на методите за решаване на линейни алгебрични системи

    • Какви са предимствата на директните методи и какви - на итерационните?
    • Винаги ли итерационните методи са по-бързи от директните? Защо?
    • Кой от изучените методи за какви системи може да се използва?
    • Каква е сложността на всеки от изучените методи?

  • Метод на Данилевски

    • Алгоритъм и имплементация на метода на Данилевски.
    • Директен или итерационен е този метод? Защо?

  • Метод на Крилов

    • Какво представляват подпространствата на Крилов?
    • Каква е връзката между линейни комбинации на векторите, пораждащи пространствата на Крилов, и характеристичния полином на дадена матрица?
    • Алгоритъм на метода на Крилов.