Weekly outline
-
- Какво представляват числените методи? Защо често в практиката се налага дадена задача да се решава с помощта на числен метод?
- Какво е абсолютна и какво - относителна грешка?
- Как се представят числата (с плаваща точка) в компютъра? До какви проблеми води това?
- Къде на практика възниква необходимостта от решаване на линейни алгебрични системи?
- Какво означава "директен метод" за решаване на линейна алгебрична система?
- Какви са основните неща, които трябва да знаем за един числен метод за решаване на линейни алгебрични системи, за да можем да го използваме на практика?
-
- Алгоритъм (прав и обратен ход) и имплементация на метода на Гаус.
- Кога методът на Гаус е реализуем?
- Какво означава един числен метод да е устойчив? Устойчив ли е методът на Гаус (без избор на главния елемент)?
- Каква е сложността на метода на Гаус?
-
- Алгоритъм и имплементация на метода на Гаус с частичен избор на главния елемент
- Защо се налага да използваме метода на Гаус именно в този вид?
-
- Какво означава LU-разлагане?
- Кога е добре матрицата на дадена система да се разложи в този вид? Какво е предимството на това?
- Умножаване на матрица отляво и отдясно; матрици на елементарни трансформации (операции по редове, пермутационни матрици).
- Алгоритъм и имплементация на LU-разлагането?
- Имплементация на функция в Mathematica, която решава система с матрица, разложена във вида A=LU.
-
Файлът съдържа:
- функция, която намира LU-разлагане на дадена матрица;
- функция, която решава дадена система, чиято матрица е разложена във вида A=LU;
- функция, която използва LU-разлагане за намиране на обратна матрица.
- функция, която намира LU-разлагане на дадена матрица;
-
- Какво получаваме по метода на Холецки при дадена матрица A?
- Кога може да се използва методът на Холецки?
- Алгоритъм и имплементация.
- Приложение на метода на Холецки за решаване на задача по метода на най-малките квадрати.
-
Файлът съдържа:
- Функция, имплементираща метода на Холецки;
- Примерно решение на задачата за падащото тяло по метода на най-малките квадрати.
-
- За какви системи може да се използва методът на дясната прогонка? Какви са предимствата му пред другите директни методи в този случай?
- Алгоритъм и имплементация
-
- Описване на стационарното състояние на дадена физическа система - съставяне на система, която описва стационарното състояние на дадена физическа система (напр. система от реактори, система от пружини и маси); имплементиране и използване на подходпящ метод за решаване на възникващата линейна алгебрична система;
- Интерполационна задача на Лагранж - съставяне на системата при конкретно зададени възли и стойности. Избор на подходящ метод за решаване на системата. Имплементация в Mathematica.
- Метод на най-малките квадрати - избор на подходяща функция за приближаване на дадени данни; съставяне на преопределена система, отговаряща на задачата; съставяне (без доказателство) на линейна алгебрична система за оптималното решение; имплементация на подходящ метод за решаване на задачата.
-
- Каква е общата идея на итерационните методи?
- Алгоритъм и имплементация на метода на простата итерация и метода на Зайдел.
- Необходимо и достатъчно условие за сходимост на метода на простата итерация за произволно начално приближение.
- Достатъчни условия за сходимост (вж. лекциите).
- Какви stop-критерии обикновено използваме при имплементирането на итерационни методи?
-
- Какви са предимствата на директните методи и какви - на итерационните?
- Винаги ли итерационните методи са по-бързи от директните? Защо?
- Кой от изучените методи за какви системи може да се използва?
- Каква е сложността на всеки от изучените методи?
-
- Алгоритъм и имплементация на метода на Данилевски.
- Директен или итерационен е този метод? Защо?
-
- Какво представляват подпространствата на Крилов?
- Каква е връзката между линейни комбинации на векторите, пораждащи пространствата на Крилов, и характеристичния полином на дадена матрица?
- Алгоритъм на метода на Крилов.