Section outline

  • Collapse Expand

    General

    Collapse all Expand all
  • Collapse Expand

    Типове ДУ и примери за задачи, които те описват

    Разгледаните в настоящото занятие примери са допълнение към секции 1.1, 1.3, 1.4, 1.5 на записките от лекциите. Повече информация може да бъде намерена там. Разгледани са примери за:

    1. ОДУ

    • задача на Коши  (независимата променлива е времето) - логистично уравнение - ще го използваме като моделна задача, върху която ще тестваме методите, които ще разглеждаме - обърнете внимание върху поведението на решенията!
    • неизвестната функция е функция на времето (задачата за пружина и маса)
    • неизвестната функция е функция на пространствена променлива (1D стационарна задача) - стационарно уравнение на топлопроводността

    2. ЧДУ

    • едномерно нестационарно уравнение на топлопроводността
    • двумерно вълново уравнение (вж. също файла wave.avi)

    3. Стационарни и нестационарни задачи - 1D стационарно и нестационарно уравнение на топлопроводността


  • Collapse Expand

    Производна на функция. Линеаризация и формула на Тейлър. Апроксимирaне на производни.

    Разгледаните примери са допълнение към секция 1.2 от записките от лекциите. Те могат да бъдат намерени в секция 1.6 от записките.

    • Формули за числено диференциране - ред на апроксимация за формулите с разлика напред/разлика назад/централна разлика; ефект на грешките от закръгляване при твърде малки стъпки h;
    • Формула на Тейлър - числени експерименти за намиране на полиноми на Тейлър от различни степени
    • Приложение на формулата на Тейлър за извеждане на грешката на апроксимация за формулите за числено диференциране

  • Collapse Expand

    Въведение в диференчните методи. Методи на Ойлер

      • Явен и неявен метод на Ойлер. Описание и програмна реализация. Сравнение между методите на база на числени експерименти.
      • Локална грешка на апроксимация и сходимост на едностъпковите методи. Дефиниция за ЛГА. Пресмятане на ЛГА на диференчни методи. Теорема за сходимост на едностъпковите методи за числено решаване на ОДУ от първи ред. 
      • А-устойчивост и монотонност. Дефиниция. Изследване на А-устойчивостта и монотонността на едностъпкови методи.

    • Явен метод на Ойлер - Mathematica File

      Числена схема, базирана на метода на Ойлер, за логистичното уравнение.

    • Явен метод на Ойлер - Mathematica File

      Функция, реализираща метода на Ойлер за произволна задача на Коши.

    • Неявен метод на Ойлер - Mathematica File

      Числена схема, базирана на неявния метод на Ойлер, за логистичното уравнение.

    • Неявен метод на Ойлер - Mathematica File

      Функция, реализираща неявния метод на Ойлер за произволна задача на Коши.

    • Сравнение между резултатите, получени по методите на Ойлер за различни стойности на n. File
  • Collapse Expand

    Методи на Рунге-Кута

      • Методи на Рунге-Кута. Описание и обща идея на методите на Рунге-Кута. Програмна реализация на метода на Рунге-Кута от четвърти ред. Числени експерименти, илюстриращи свойствата на метода. Изследване на А-устойчивост и монотонност за методите на Рунге-Кута.

    • RK4 File
  • Collapse Expand

    Методи с адаптивен избор на стъпката

      • Методи на Рунге-Кута с адаптивен избор на стъпката.

    • RK23 File
  • Collapse Expand

    Методи на Адамс за решаване на ОДУ

    • Методи на Адамс за решаване на ОДУ

  • Collapse Expand

    Практически въпроси, свързани с приложението на методите за числено решаване на ОДУ

      • Някои приложения на числените методи за обикновени диференциални уравнения.
        Решаване на системи ОДУ. Избор на подходящ метод за решаването на дадена задача. Твърди системи.

    • RK23 stiff File
    • RK4 stiff File
    • implicit Euler stiff File
    • RK23 trajectory File
  • Collapse Expand

    Явни диференчни схеми за численото решаване на ЧДУ

    • ЧДУ - въведение
    • Явни диференчни схеми за параболични ЧДУ.
    • Апроксимиране на гранични условия от втори род (фон Нойман) и трети род (Робин)

  • Collapse Expand

    Схеми с тегло. Неявни схеми.

    • Схеми с тегло за числено решаване на параболични ЧДУ. Метод на Кранк-Никълсън.
    • Числени експерименти с цел изследване свойствата на параболичния оператор и поведението на разглежданите методи.

  • Collapse Expand

    Числено решаване на хиперболични уравнения

    • Числено решаване на хиперболични уравнения - схеми с първи ред на точност.
      Изследване на устойчиви числени схеми за решаването на уравнението на преноса. Трудности при решаването на хиперболични уравнения, свързани със свойствата на хиперболичния оператор. Проблеми при решаването на задачи с особености в началните условия, използвайки схеми от първи ред (силен ефект на числена дифузия).
    • Схеми от втори ред, устойчиви в l2-норма. Схема на Lax-Wendroff. 

    • Смесени уравнения. Полу-неявна схема за уравнение от тип реакция-дифузия-конвекция, описващо разпространение на организми.



  • Collapse Expand

    Метод на крайните елементи