Weekly outline

  • General

    Collapse all Expand all

  • Типове ДУ и примери за задачи, които те описват

    Разгледаните в настоящото занятие примери са допълнение към секции 1.1, 1.3, 1.4, 1.5 на записките от лекциите. Повече информация може да бъде намерена там. Разгледани са примери за:

    1. ОДУ

    • задача на Коши  (независимата променлива е времето) - логистично уравнение - ще го използваме като моделна задача, върху която ще тестваме методите, които ще разглеждаме - обърнете внимание върху поведението на решенията!
    • неизвестната функция е функция на времето (задачата за пружина и маса)
    • неизвестната функция е функция на пространствена променлива (1D стационарна задача) - стационарно уравнение на топлопроводността

    2. ЧДУ

    • едномерно нестационарно уравнение на топлопроводността
    • двумерно вълново уравнение (вж. също файла wave.avi)

    3. Стационарни и нестационарни задачи - 1D стационарно и нестационарно уравнение на топлопроводността


  • Производна на функция. Линеаризация и формула на Тейлър. Апроксимирaне на производни.

    Разгледаните примери са допълнение към секция 1.2 от записките от лекциите. Те могат да бъдат намерени в секция 1.6 от записките.

    • Формули за числено диференциране - ред на апроксимация за формулите с разлика напред/разлика назад/централна разлика; ефект на грешките от закръгляване при твърде малки стъпки h;
    • Формула на Тейлър - числени експерименти за намиране на полиноми на Тейлър от различни степени
    • Приложение на формулата на Тейлър за извеждане на грешката на апроксимация за формулите за числено диференциране

  • Въведение в диференчните методи. Методи на Ойлер

  • Методи на Рунге-Кута

      • Методи на Рунге-Кута. Описание и обща идея на методите на Рунге-Кута. Програмна реализация на метода на Рунге-Кута от четвърти ред. Числени експерименти, илюстриращи свойствата на метода. Изследване на А-устойчивост и монотонност за методите на Рунге-Кута.

    • File icon
      RK4 File

  • Методи с адаптивен избор на стъпката

      • Методи на Рунге-Кута с адаптивен избор на стъпката.

    • File icon
      RK23 File

  • Методи на Адамс за решаване на ОДУ

    • Методи на Адамс за решаване на ОДУ

  • Практически въпроси, свързани с приложението на методите за числено решаване на ОДУ

  • Явни диференчни схеми за численото решаване на ЧДУ

    • ЧДУ - въведение
    • Явни диференчни схеми за параболични ЧДУ.
    • Апроксимиране на гранични условия от втори род (фон Нойман) и трети род (Робин)

  • Схеми с тегло. Неявни схеми.

    • Схеми с тегло за числено решаване на параболични ЧДУ. Метод на Кранк-Никълсън.
    • Числени експерименти с цел изследване свойствата на параболичния оператор и поведението на разглежданите методи.

  • Числено решаване на хиперболични уравнения

    • Числено решаване на хиперболични уравнения - схеми с първи ред на точност.
      Изследване на устойчиви числени схеми за решаването на уравнението на преноса. Трудности при решаването на хиперболични уравнения, свързани със свойствата на хиперболичния оператор. Проблеми при решаването на задачи с особености в началните условия, използвайки схеми от първи ред (силен ефект на числена дифузия).
    • Схеми от втори ред, устойчиви в l2-норма. Схема на Lax-Wendroff. 

    • Смесени уравнения. Полу-неявна схема за уравнение от тип реакция-дифузия-конвекция, описващо разпространение на организми.



  • Метод на крайните елементи