Множества

1. Множества.

Въвеждаме понятието множество като съвкупност от елементи;

елементите могат да бъдат протоелементи – всеки реален или измислен математически обект, който не е множество – или самите те могат да бъдат добре дефинирани множества;

едно множество е добре дефинирано, ако се знае кои са

елементите му, т.е. те са дефинирани преди това;

нека М е множество; ще отбелязваме x  M, ако обектът x е елемент на M или x  M, ако x не е елемент на М; ако М е добре дефинирано множество, то за всеки обект x е изпълнено точно едно от x  M,

x  M;

ще казваме, че множествата A и B са равни, когато са съставени от едни и същи елементи, бележим A = B;

един начин за задаване на множество е чрез изреждане на елементите в него, разделени със запетая между фигурни скоби;

оттук нататък всички множества ще считаме, че са добре дефинирани; целта е да се изгради непарадоксална логика (например парадокс на Ръсел);

Аксиоми за множествата:

А.1. (аксиома за обема) нека A и B са множества;

ако за всеки обект x имаме: x  A  x  B, то A = B;

неформално аксиомата за обема гласи, че едно множество еднозначно се определя от принадлежността на неговите елементи;

Следствие: две множества са равни, когато са съставени от едни и същи елементи, без значение редът на елементите или дали те се повтарят; например { a, a, b } = { a, b }, { a, b} = { b, a} ;

Мета-теорема: Дадени са множества A и B; твърди се, че A = B;

Доказателство: за всеки елемент a  A показваме, че a  B;

за всеки елемент b  B показваме, че b  A;

от аксиомата за обема  A = B;

А.2. (аксиома за отделянето)

нека М е множество;

въвеждаме понятието предикат P (x) ( x  M ) – параметризиран въпрос с два възможни отговора (true – истина и false – лъжа), при това отговорът зависи от параметъра x;

аксиомата твърди, че ако M = { x | P (x) = true, x  M } , то M е множество; M се нарича подмножество на М (или още M

съдържа M); бележим M  M ( M  M); ако M  M пишем

M  M ( M  M);

означаваме с  множеството, което не съдържа елементи, т.е. за всеки обект x, x  ;