ДС, пролет 2021

Ето непълен списък (по памет)  на грешки във вариант 1:

-- Задача 1 се решава таблично.  Това е 0 т.  Задача 1 трябва да се реши с екв. преобразувания.  По същество таблични решения са и тези, които не строят изрична таблица, но в даден момент разсъждават върху това, че даден подизраз може да е истина или лъжа.

Решенията с екв. преобразувания са синтактични.  Преобразуванията са дадени (как са изведени самите преобр. е друг въпрос; в такава задача ги вземаме за даденост).  Тези решения са синтактични (или формални, в случая това е същото), защото не зависят от интерпретацията на променливите.

Решения, които се основават на това, че променливите се интерпретират като истина или лъжа, са семантични.  Което е съвсем друг подход.

За да осмислите разликата между синтактичния и семантичния подход при доказването: представете си безкрайно-значна логика, в която променливите вземат стойности от затворения интервал [0, 1]; конюнкцията става min, дизюнкцията става max, отрицанието става допълнение до 1.  Някои от познаните ни закони продължават да са в сила, примерно законите на De Morgan (допълнението на минимума е максимумът на допълненията и обратно).  Но сега е безнадеждно да докажем това семантично, защото това би значело да проверим тъждеството за (неизброимо) безкрайно много наредени двойки реални числа.

-- В зад. 1 не се дава експлицитно основание за минаване от ред на следващия ред (липсват имената на законите).  За това, -2 т.

-- В зад. 2, изследването на свойствата на релациите е направено не с ясни пълни изречения на български, а с някаква икономична нотация, която само дава подсказка за решение.  Това е 0 т на свойство.  Особено дразнещо е безразборното използване на символа за импликация.  Импликацията е логически съюз, приложим само за изрази, които имат интрепретация истина или лъжа.

Имайте предвид, че решение, казващо примерно "Симетричност: ако XRY, то YRX", е невалидно.  В него липсват квантори върху X и Y, така че, формално, X и Y са свободни променливи.

-- В зад. 2, никой не е направил диаграмата на R.

-- Има случаи на изключително груби грешки в зад. 2, показващи дълбоко неразбиране на нотацията за множества и изобщо на теорията на множествата.  Такива грешки дават 0 точки на цялата задача.

-- На зад. 3 има само две решения.  Едното обаче подменя числото 90 в условието с 45.  Това е -5 т.

-- На зад. 4 има решения, които показват картинка на разбиването на триъгълника на четири под-триъгълника, но няма обяснение с думи как става това.  Това е -5 т.  Решенията трябва да са словесни.  Мястото на картинките е в черновата.  Картинките са за получаване на интуиция и са важни при преподаването.  На контролното обаче вие не преподавате, а показвате убедително, че умеете да решавате задачи формално и символно.

-- В зад. 4, опитите да се реши директно, без използване на принципа на Дирихле, са обречени, защото начините да се разположат пет точки са безброй много.  Всички "решения", които разглеждат някакво разположение на точки в триъгълника и казват, че няма как да точките да бъдат раздалечени повече една от друга, увисват при въпроса "Защо?". 

Със сигурност решение, което се основава на три окръжности, всяка с радиус 1/2, и заключава, че в частта на ABC извън обединението на окръжностите няма точки на разст. > 1/2, както и да са разположени окръжностите, може да бъде довършено успешно, но за целта трябва да се използват (и докажат!) геометрични факти, които са извън обхвата и на средношколския курс, и на "очевидната" геометрия, използвана в курса ДС.

-- В зад. 4, решение, което не ползва в явен вид термина "Принцип на Дирихле", но разбива ABC на четири конгруентни триъгълника и отбелязва нещо като "От който и триъг. да вземем 5-тата точка, тя ще е на разст., < 1/2 някоя от другите", получава 15 точки.  Без изричното ползване на принципа на Д., това е недоказано твърдение.