ДС, пролет 2021

-- За зад. 4 има "решение", което разглежда фиксирано A.  Това е груба грешка.  A е произволно.  Терминът "произволно" не присъства в условието, но това се подразбира.  За конкретно A е детска игра да се намерят различни подмножества с еднаква сума.

-- В зад. 1: решение, което разглежда конкретна стойност на x, разглежда истинността на предиката след заместване на x с тази стойност, и прави заключение, което е вярно, но никъде не се обсъжда това, че предикатът съдържа импликация, която е винаги истина при антецедент-лъжа и е винаги истина при консеквент-истина.  -5 точки

-- В "решение" на зад 3 е пропуснато ограничението, че всеки трябва да получи поне един билет.  За това, 0 точка на задачата.  Без него, тя става друга задача.

-- За зад. 1 има "решение", което разглежда комплексни числа и сравнява комплексни числа с <.  Това е 0 точки на подусловието.  И е изключително груба грешка, която нулира цялата задача.

-- И изобщо за зад 1, това е логическа задача.  Намесени са и реални числа и човек трябва да знае някои факти за реалните числа, но същината на задачата е квантован предикат, който предикат е импликация.  Трябва да се знаят и ползват някакви свойства на импликацията.  Тази задача не се решава само с разсъждения за реални числа.  Те са важни, но не са достатъчни.

-- има "решение" на зад 1, което разглежда антецедента и консеквента като отделни предикати.  Говори се за "за всяко реално x: x < 10" като за отделен квантован предикат.  Това е груба грешка.  Предикатът е импликацията, а не поотделно антецедентът и консеквентът.

-- "решение" на зад 4 разглежда случай, в който елементите на А са равни.  Това е невъзможно, понеже А е множество.  А другият случай е написан толкова нечетливо, че се отказвам да се опитвам да го чета.

-- в зад. 4 има "решение", което твърди, че ако елементите на A не са поредни, то А непременно има две двуелементни подмножества с еднаква сума.  Това не е доказано, и по добра причина: просто не е вярно.  Ако двуелементните имат общ елемент, то и другият във всяко от тях трябва да съвпада, за да имат еднаква сума, така че те трябва да съвпадат, което не е допустимо.  Тогава нямат общ елемент.  Лесно се намира контрапример, да кажем A = {1,2,4,7,10,14}, който няма две двуелементни подмножества с еднаква мощност.

-- има "решение" на зад 2, в което не е пресметната в явен вид нито f(1,3), нито f(2,3), и има квази-доказателства по индукция на другите две твърдения, в които "доказателства" в индуктивната стъпка, наречена "проверка" някак магически се появяват правилните изрази без извеждане.  Това клони към опит за измама.  Нула точки.

-- в повече от един отговори се вижда, че нотацията с голямата лява фигурна скоба в задача 2 не е ясна.  Тази нотация дефинира функция чрез НЯКОЛКО израза.  В най-простия случай, функция се дефинира чрез един израз вдясно от знака '='.  Например, f(n) = 2n+1.

Може обаче да искаме да дефинираме функцията по такъв начин, че да няма един израз, който да сложим вдясно.  Например, ако домейнът е множеството от естествените числа и искаме функцията да има стойност 0 върху нулата, а върху всяко друго n да има стойност 2n+1, можем да напишем

f(n) = 0, ако n = 0, 

f(n) = 2n + 1, ако n > 0

Това можем да запишем по-икономично с лява фигурна скоба.  Важното е вдясно да е зададено разбиване на домейна.  В този пример, разбиването е { {0}, {1,2,...} }.

В задача 2 има не два, а три случая (и разбиване на три подмножества), но принципът е същият.      

-- В "решение" на първа задача, второто подусловие, се твърди, че и антецедентът, и консеквенът са истина.  Това  не е вярно, защото има реални числа x, за които x < 10 не е истина.

-- в задача 2, д-вата по индукция, не е добре да се взема база 1.  Нулата е естествено число, а функцията на Акерман има домейн N x N.