Числени методи за диференциални уравнения, летен семестър 2018/2019

Представяне по теми

• Главна

  Сгъване на всички Разгъване на всички
  • 

    Обявления Форум
  • 

    Записки на лекциите Файл
  • 

    Конспект Файл
  • 

    Примерен изпит (част 1) Файл
  • 

    Примерен изпит (Част 2) Файл
  • Форматът на изпита ще е подобен на качения примерен изпит, но броят на задачите (особено в част 2) ще бъде намален, за да могат да бъдат решени в рамките на 2 часа, съгласно заповедта на Декана. Изпитът ще носи 100 точки, като скалата за оценяване е, както следва:

    • 35 точки - среден 3;
    • 50 точки - добър 3.50;
    • 60 точки - добър 4;
    • 67 точки - мн. добър 4.50;
    • 75 точки - мн. добър 5;
    • 86 точки - отличен 5.50;
    • 100 точки - отличен 6.00.

    Междинни оценки се поставят пропорционално. Ще има необходимо условие за минимален брой точки на първа част и минимален брой точки на втора част от изпита за получаване на положителна оценка.
    

• Увод

  1. Производна на функция

  • дефиниция, практически и геометричен смисъл
  • апроксимиране - формули с разлика напред/разлика назад/централна разлика и точност на формулите
  • линеаризация
  • формула на Тейлър

  2. Математическо моделиране с диференциални уравнения

  • обикновени и частни диференциални уравнения и задачи, които те описват
  • примери за математически модели, описвани с диференциални уравнения

  3. Обикновени диференциални уравнения

  • задача на Коши за ОДУ от първи ред
  • еквивалентно интегрално уравнение

  
  

• Числени методи за ОДУ - въведение. Методи на Ойлер.

  1. Въведение в диференчните методи

  • дискретизация на интервала - равномерни и неравномерни мрежи
  • общ алгоритъм за намиране на стойностите на приближеното решение в точките от мрежата

  2. Методи на Ойлер

  • явен метод на Ойлер - извеждане по три различни начина
  • неявен метод на Ойлер

  3. Консистентност и локална грешка на апроксимация

  • локална грешка на апроксимация и консистентност на апроксимацията - дефиниция
  • пресмятане на локалната грешка на апроксимация на явния и неявния метод на Ойлер

  4. Устойчивост и монотонност

  • моделна задача за изследване поведението на методите
  • дефиниции за устойчивост и монотонност
  • устойчивост и монотонност на явния и неявния метод на Ойлер

  5. Методи с тегло. 

  • извеждане
  • локална грешка на апроксимация
  • подобрен метод на Ойлер - ЛГА, устойчивост и монотонност

• Методи на Рунге-Кута (RK)

  1. Обща идея

  • понятие за многоетапен метод
  • идея на методите на Рунге-Кута 
  • таблица на Butcher

  2. Извеждане на RK1 и RK2

  3. Устойчивост и монотонност на методите на RK

• Практическа оценка на грешката и реда на сходимост. Адаптивни методи.

  • Методи на Рунге-Кута с адаптивен избор на стъпката

• Методи на Адамс. Предикторно-коректорни методи.

  • Идея на многостъпковите методи
  • Явни методи на Адамс (Адамс-Башфорт) - извеждане на едно-, дву- и тристъпков метод на Адамс-Башфорт
  • Неявни методи на Адамс (Адамс-Мултон) - извеждане на едно- и двустъпков методи на Адамс-Мултон
  • Предикторно-коректорни методи

• Сходимост на методите. Теорема на Lax-Richtmayer

  • Теорема на Лакс, свързваща ЛГА и реда на сходимост
  • Метод на Рунге за практическа оценка на грешката и реда на сходимост

• Сравнение на методите за решаване на ОДУ

• Увод в ЧДУ и задачите, които те описват

• Явни диференчни методи за ЧДУ

• Диференчни схеми с тегло. Чисто неявни схеми. Схема на Кранк-Никълсън.

• Особености при численото решаване на хиперболични задачи. Метод на хармониките за изследване на устойчивост в l2-норма.

  Откроено

• Предварителни сведения от теорията на апроксимирането във функционални пространства.

• Увод в метода на крайните елементи