Решение на задачата от изпита на 27.08
Нека "binom(n,k)" е биномният коефициент с горен индекс n и долен индекс k.
1) Нека десетте футболисти имат идентичности. Трите роли също имат свои идентичности, така че задачата е същата като задачата, по колко начина можем да сложим 10 различими топки в 3 различими кутии, така че всяка кутия да има поне една топка. Съгласно изучаваното на лекции
https://learn.fmi.uni-sofia.bg/mod/url/view.php?id=143074
има точно
sum_{0 <= k <= 3} (-1)^k binom(3,k) (3-k)^10
такива слагания. Численият отговор е 55980.
2) Нека десетте футболисти са анонимни. Трите роли и в този вариант имат свои идентичности, така че задачата е същата като задачата, по колко начина можем да сложим 10 неразличими топки в 3 различими кутии, така че всяка кутия да има поне една топка. Съгласно изучаваното на лекции
https://learn.fmi.uni-sofia.bg/mod/url/view.php?id=143074
има точно
binom(10-1,10-3) = binom(9,7) = binom(9,2)такива слагания. Численият отговор е 9*8 / 2 = 36.