ДС, КН2, есен 2023

Тепърва започвам да проверявам и списъкът сигурно ще расте.  Засега:

1) в задача 3 опит за решение с разглеждане на f и g, които не удовлетворяват ограниченията от условието.  Тъй като по изключение професорът е прав и f = g, то всеки опит за решение с конкретни функции е обречен.  Ако конкретните функции не са равни, то те със сигурност не удовлетворяват поне едно от двете ограничения и няма смисъл да се разглеждат -- те са нерелевантни.  Ако са равни, те не са контрапример и не вършат работа, понеже твърдението е, че ВСИЧКИ ф-ии, удовлетворяващи ограниченията, са равни.  Разглеждане на краен брой конкретни примери не доказва твърдението.

2) в задача 1 няколко решения досега казват, че професорът е прав. ?!?!  Ако професорът е прав, то има само едно естествено число.

3) в задача 1, "доказателството" по индукция на професора завършва с предпоследното изречение -- той мисли, че е доказал P(t+1), допускайки P(t).  Последното изречение "В заключение ...." е обобщението "за всяко t : P(t)", което е извън самото доказателство.  Буквата t в последното изречение е под квантор и няма нищо общо с 't' в предните изречения.  Със същия успех, професорът може да каже в последното изречене "За всяко x : P(x)".

4) някои решения на задача 3 говорят за биекции или сюрекции.  Никъде в условието не се казва, че f или g е сюрекция.  Елементарно е да се измисли пример за f = g, която не е сюрекция, но удовлетворява дадените ограничения.  Поради това, разглеждане на сюрекции е загуба на общност .

5) има решения на зад 1, които правилно казват, че твърдението на професора е невярно и правилно казват, че всъщност такава импликация няма.  Но това е същностен, а не формален аргумент.  Трябва да се открие грешката в разсъжденията на професора, а не просто да се установи, че той бърка.  Трябва да се установи защо

  ( max(m,n) = t+1 --> m = n )

не следва непременно от

  ( max(m',n') = t --> m' = n' )

NB: в задачата се пита "какво бихте казали за доказателството?", а не "какво бихте казали за твърдението?".  Това са доста различни неща.  Твърдението ОЧЕВИДНО не е вярно.

6) В задача 3, някои решения допускат, че f = g, и оттук доказват, че f = g.  Не трябва да допускате това, което ще докажете.  Такова допускане би имало смисъл, ако f не е равна на g: ако допуснем, че f = g, и стигнем до противоречие, то сме доказали, че f не е равна на g.  Но ако е вярно, че f = g, трябва да търсим друг начин това да се докаже (който не включва допускане, че f = g).

7) в задача 3, някои решения започват с разсъждения за g^(-1) или f^(-1).  Обратните ф-ии може да не съществуват.  Това е загуба на общност.